Fractal.html

Graniţa mulţimii lui Mandelbrot este un exemplu faimos de fractal.

Altă imagine a mulţimii lui Mandelbrot.

Colocvial, un fractal este "o figură geometrică fragmentată sau frântă care poate fi divizată în părţi, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puţin aproximativ) o copie miniaturală a întregului".^[1] Termenul a fost introdus de Benoît Mandelbrot în 1975 şi este derivat din latinescul fractus, însemnând "spart" sau "fracturat".

Fractalul, ca obiect geometric, are în general următoarele caracteristici:

Are o structură fină la scări arbitrar de mici.
Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian tradiţional.
Este autosimilar (măcar aproximativ sau stochastic).
Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deşi această cerinţă nu este îndeplinită de curbele Hilbert).
Are o definiţie simplă şi recursivă.^[2]

Deoarece par identici la orice nivel de magnificare, fractalii sunt de obicei consideraţi ca fiind infinit complecşi (în termeni informali). Printre obiectele naturale care aproximează fractalii până la un anumit nivel se numără norii, lanţurile montane, arcele de fulger, liniile de coastă şi fulgii de zăpadă. Totuşi, nu toate obiectele autosimilare sunt fractali—de exemplu, linia reală (o linie dreaptă Euclidiană) este autosimilară, dar nu îndeplineşte celelalte caracteristici.

modifică Istorie

Pentru a crea un fulg Koch, se începe cu un triunghi echilateral şi se înlocuieşte treimea din mijloc de pe fiecare latură cu două segmente astfel încât să se formeze un nou triunhghi echilateral exterior. Apoi se execută aceiaşi paşi pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. Cu fiecare iteraţie, perimetrul acestei figuri creşte cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui număr infinit de execuţii ale acestor paşi, şi are lungime infinită, în timp ce aria sa rămâne finită. De aceea, fulgul Koch şi construcţiile similare sunt numite uneori "curbe monstru."

Matematica din spatele fractalilor a apărut în secolul 17, când filosoful Gottfried Leibniz a considerat autosimilaritatea recursivă (deşi greşise gândindu-se că numai liniile drepte sunt autosimilare în acest sens).

Abia în 1872 a apărut o funcţie al cărei grafic este considerat azi fractal, când Karl Weierstrass a dat un exemplu de funcţie cu proprietatea că este continuă, dar nediferenţiabilă. În 1904, Helge von Koch, nesatisfăcut de definiţia abstractă şi analitică a lui Weierstrass, a dat o definiţie geometrică a unei funcţii similare, care se numeşte astăzi fulgul lui Koch. În 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul şi, un an mai târziu, covorul lui Sierpinski. La origine, aceşti fractali geometrici au fost descrişi drept curbe în loc de forme bidimensionale, aşa cum sunt cunoscute astăzi. Ideea de curbe autosimilare a fost preluată de Paul Pierre Lévy, care, în lucrarea sa Curbe şi suprafeţe în plan sau spaţiu formate din parţi similare întregului din 1938, a descris o nouă curbă fractal, curba C a lui Lévy.

Georg Cantor a dat, de asemenea, exemple de submulţimi ale axei reale cu proprietăţi neobişnuite — aceste mulţimi Cantor sunt numite astăzi fractali.

Funcţiile iterate în planul complex au fost investigate la sfârşitul secolului 19 şi începutul secolului 20 de Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou şi Gaston Julia. Totuşi, fără ajutorul graficii pe calculator moderne, ei nu puteau vizualiza frumuseţea numeroaselor obiecte pe care le descoepriseră.

În anii 1960, Benoît Mandelbrot a început să cerceteze autosimilaritatea în lucrări precum Cât de lungă este coasta Marii Britanii? Autosimilaritate statistică şi dimensiune fracţională. În sfârşit, în 1975, Mandelbrot a inventat termenul "fractal" pentru a denumi un obiect al cărei dimensiune Hausdorff-Besicovitch este mai mare decât dimensiunea topologică a sa. A ilustrat această definiţie matematică cu imagini construite pe calculator.

modifică Exemple

O mulţime Julia, un fractal înrudit cu mulţimea lui Mandelbrot

O clasă de exemple simple este dată de mulţimile Cantor, triunghiul şi covorul lui Sierpinski, buretele lui Menger, curba dragon, curba lui Peano şi curba Koch. Alte exemple de fractali sunt fractalul lui Lyapunov şi mulţimile limită ale grupurilor Kleiniene. Fractalii pot fi determinişti (toţi cei anteriori) sau stocastici (adică nedeterminişti). De exemplu, traiectoriile mişcării browniene în plan au dimensiunea Hausdorff 2.

Sistemele haotice dinamice sunt uneori asociate cu fractalii. Obiectele din spaţiul fazelor dintr-un sistem dinamic pot fi fractali (vezi atractor). Obiectele din spaţiul parametrilor al unei familii de sisteme pot fi de asemenea fractali. Un exemplu interesant este mulţimea lui Mandelbrot. Această mulţime conţine discuri întregi, deci are dimensiunea Hausdorff egală cu dimensiunea topologică (adică 2) — dar ceea ce este surprinzător este că graniţa mulţimii lui Mandelbrot are de asemenea dimensiunea Hausdorff 2 (în timp ce dimensiunea topologică este 1), un rezultat demonstrat de Mitsuhiro Shishikura în 1991. Un fractal foarte înrudit este mulţimea Julia.

Chiar şi la curbele simple se poate observa proprietatea de autosimilaritate. De exemplu, distribuţia Pareto produce forme similare la diferite niveluri de grosisment.

modifică Fractalii în natură

Un fractal care modelează suprafaţa unui munte (animaţie)

Fractali aproximativi sunt uşor de observat în natură. Aceste obiecte afişează o structură auto-similară la o scară mare, dar finită. Exemplele includ norii, fulgii de zăpadă, cristalele, lanţurile montane, fulgerele, reţelele de râuri, conopida sau broccoli şi sistemul de vase sanguine şi vase pulmonare.

Un fractal ferigă obţinut printr-un sistem de funcţii iterate

Arborii şi ferigile sunt fractali naturali şi pot fi modelaţi pe calculator folosind un algoritm recursiv. Natura recursivă este evidentă în aceste exemple — o ramură a unui arbore sau o frunză a unei ferigi este o copie în miniatură a întregului: nu identice, dar similare.

În 1999, s-a demonstrat despre anumite forme de fractali auto-similari că au o proprietate de "frequency invariance" — aceleaşi proprietăţi electromagnetice indiferent de frecvenţă — din Ecuaţiile lui Maxwell. ^[3]

modifică Fractalii în artă

Tipare de fractali au fost descoperite în picturile artistului american Jackson Pollock. Deşi picturile lui Pollock's par a fi doar stropi haotici, analiza computerizată a descoperit tipare de fractali în opera sa.^[4]

Fractalii sunt de asemenea predominanţi în arta şi arhitectura africană. Casele circulare apar în cercuri de cercuri, casele dreptunghiulare în dreptunghiuri de dreptunghiuri şi aşa mai departe. Astfel de tipare se găsesc şi în textile şi sculpturile africane, precum şi în părul împletit în codiţe.^[5]

Un fractal se formează când se despart două plăci de acril lipite.	Degradarea unui bloc acrilic de 4 ţoli sub acţiunea unui curent de înaltă tensiune produce un fractal figură Lichtenberg.	Ramificarea fractalilor are loc în cazul suprafeţei DVD-urilor iradiate într-un cuptor cu microunde^[6]	Broccoli Romanesco evidenţiind structuri de fractal naturale foarte fine
Un grup format prin agregare limitată de difuzie, dezvoltat dintr-o soluţie de sulfat de cupru într-o celulă de electrodepunere	O magnificare a mulţimii phoenix	Fractal generat în PASCAL	Fractal Sterling2

modifică Referinţe

^ Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1186-9.
^ Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, xxv, John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 0-470-84862-6.
^ Hohlfeld,R., and Cohen,N.,"SELF-SIMILARITY AND THE GEOMETRIC REQUIREMENTS FOR FREQUENCY INDEPENDENCE IN ANTENNAE ", Fractals, Vol. 7, No. 1 (1999) 79-84
^ Richard Taylor, Adam P. Micolich and David Jonas. Fractal Expressionism : Can Science Be Used To Further Our Understanding Of Art?
^ Ron Eglash. African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design. New Brunswick: Rutgers University Press 1999.
^ Peng, Gongwen, Decheng Tian (21 July 1990). "The fractal nature of a fracture surface". Journal of Physics A (14): 3257-3261. doi:10.1088/0305-4470/23/14/022. Retrieved on 2007-06-02.