Cardinal (matematică).html

Cardinalul sau puterea unei mulţimi reprezintă numărul elementelor acelei mulţimi. Două mulţimi se numesc echipotente dacă au acelaşi număr de elemente (acelaşi cardinal).

Cuprins

1 Definiţie
2 Cardinale finite şi infinite
3 Compararea cardinalelor

modifică Definiţie

Două mulţimi A şi B se numesc echipotente dacă există cel puţin o funcţie bijectivă $f:A\to B$ .

Relaţia de echipotenţă satisface condiţiile unei relaţii de echivalenţă.

Dacă două mulţimi sunt echipotente se mai spune că au acelaşi cardinal sau au acelaşi număr de elemente.

modifică Cardinale finite şi infinite

Prin definiţie, o mulţime este numită infinită dacă este echipotentă cu o submulţime strictă a sa. O mulţime ce nu este infinită se numeşte finită.

De exemplu, pentru mulţimea numerelor naturale avem funcţia bijectivă $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\setminus\{0\}$ dată prin $f (x) = x + 1$ , de unde rezultă că $\mathbb{N}$ este echipotentă cu submulţimea strictă $\mathbb{N}\setminus\{0\}$ . Prin urmare, mulţimea numerelor naturale este infinită.

modifică Mulţimi finite

Orice mulţime finită este echipotentă cu o mulţime de numere naturale de forma $\{1,2,3,\ldots,n\}$ . Se spune că o astfel de mulţime are cardinalul n. Mulţimea vidă are cardinalul 0.

modifică Mulţimi numărabile

O mulţime echipotentă cu mulţimea numerelor naturale se numeşte mulţime numărabilă. Cardinalul unei mulţimi numărabile se notează cu $\alef_0$ (în lucrările mai vechi se nota cu $\mathfrak{a}$ ). Mulţimea numerelor întregi şi mulţimea numerelor raţionale sunt numărabile.

Prin mulţime cel mult numărabilă se înţelege o mulţime care este finită sau numărabilă.

Proprietăţi:

Orice mulţime infinită conţine o submulţime numărabilă.
Orice submulţime a unei mulţimi cel mult numărabilă este cel mult numărabilă.
Reuniunea unei familii cel mult numărabile de mulţimi cel mult numărabile este o mulţime cel mult numărabilă.
Produsul cartezian a două mulţimi numărabile este o mulţime numărabilă. În consecinţă, produsul cartezian a unui număr finit de mulţimi numărabile este numărabil.

modifică Mulţimi nenumărabile

Există mulţimi diferite (prostiii) nenumărabile. De exemplu, mulţimea numerelor reale este nenumărabilă.

Cardinalul mulţimii numerelor reale se notează cu $\aleph$ ; în lucrările mai vechi se notează cu $\mathfrak{c}$ şi se numeşte puterea continuului. Următoarele mulţimi au cardinalul $\aleph$ :

orice interval (netrivial) al mulţimii numerelor reale
mulţimea numerelor complexe $\mathbb{C}$
$\mathbb{R}^n$ , pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$
mulţimea părţilor mulţimii numerelor naturale $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

modifică Compararea cardinalelor

O mulţime A se spune că are cardinal mai mic sau egal decât mulţimea B dacă A este echipotentă cu o submulţime a lui B. Se poate arăta că dacă A este echipotentă cu o submulţime a lui B şi B este echipotentă cu o submulţime a lui A atunci A şi B sunt echipotente. Pe baza lemei lui Zorn, se poate arăta că pentru orice două mulţimi A şi B cel puţin una dintre ele are cardinalul mai mic sau egal cu cardinalul celeilalte. Ca urmare, există o ordine totală între cardinale.