Równanie (matematyka).html

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: równanie reakcji chemicznej.

W matematyce równanie to forma zdaniowa złożona z dwóch lub większej liczby wyrażeń (termów zawierających stałe, symbole działań, lub zmienne), połączonych znakiem relacji równości =.

Zmienne mogące występować w równaniu, oznaczone zwykle symbolami literowymi, nazywamy niewiadomymi. W równaniu złożonym z dwóch wyrażeń, wyrażenie po lewej stronie znaku równości nazywamy lewą stroną równania, wyrażenie po prawej stronie prawą stroną równania.

Równanie jest spełnione jeśli dla pewnych wartości niewiadomych wartości lewej i prawej strony są równe. Wartości niewiadomych, dla których równanie jest spełnione, nazywamy rozwiązaniami lub pierwiastkami równania. Pierwiastki równania $f (x) = 0$ nazywamy miejscami zerowymi funkcji $f (x)$ . Pierwiastki równania algebraicznego $W (x) = 0$ , gdzie $W$ jest wielomianem, nazywamy pierwiastkami wielomianu $W$ .

Rozwiązywanie równania to znajdowanie wszystkich jego rozwiązań.

Równanie, które nie ma rozwiązań, nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie, które ma jedno i tylko jedno rozwiązanie, jest równaniem oznaczonym.

Równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest równaniem nieoznaczonym.

Równanie, które spełnia każdy obiekt z jego dziedziny, nazywamy równaniem tożsamościowym.

edytuj Przykłady równań

$x=x+1\,$ (równanie sprzeczne - nigdy nie jest spełnione).
$1 - sin 2 x = cos 2 x$ (równanie tożsamościowe).
$sin x = 1$ dla $x\in {\mathbb R}$ (równanie nieoznaczone - ma nieskończenie wiele rozwiązań).
$a=\frac{2a+5}{a^2}$ .
$x+y=3\,$ (równanie z dwiema niewiadomymi). Równanie to jest spełnione przez nieskończenie wiele par liczb, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań. Każde rozwiązanie dane jest regułą: $x$ dowolne, $y = 3 - x$ . Biorąc za $x$ dowolne liczby rzeczywiste i wyliczając $y$ z podanego wzoru, można otrzymać każde rozwiązanie badanego równania. Dla $x = 2$ otrzymujemy $y = 1$ ; dla $x = - 1$ mamy $y = 4$ itd.

edytuj Rodzaje równań

Równanie algebraiczne - każde równanie postaci $P (x) = 0$ , gdzie $P$ jest wielomianem. W szczególności gdy $P$ jest stopnia drugiego jest to równanie kwadratowe, a gdy $P$ jest stopnia pierwszego jest to równanie liniowe.
Równanie diofantyczne - równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub naturalnych.
Równanie funkcyjne, np. równanie różniczkowe lub równanie całkowe.

edytuj Zobacz też

edytuj Źródła

Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, s. 97. ISBN 83-7469-189-1.