Spirale.html

Dieser Artikel behandelt die Spirale als geometrische Figur. Für ein gleichnamiges Verhütungsmittel siehe Spirale (Verhütung). Für das Werkzeug siehe Rohrreinigungsspirale.

Eine Spirale oder Schneckenlinie ist eine Kurve, die um einen Punkt oder eine Achse verläuft und sich je nach Laufrichtung von diesem/r entfernt oder annähert.

Inhaltsverzeichnis

1 Spirale oder Schraube
2 Spiraltypen
- 2.1 Ebene Spiralen
- 2.2 Dreidimensionale Spiralen
3 Demoskopie
4 Spiralen in der Natur
5 Weblinks

Bearbeiten Spirale oder Schraube

Bild:Schraube und archimedische Spirale.png

Die Spirale wird manchmal mit der völlig anders geformten Schraube verwechselt. Während die prototypische Spirale ein Gebilde in der Ebene ist, wie zum Beispiel die Rille einer Schallplatte, oder die Arme einer Spiralgalaxie, ist sowohl die Schraube als auch der Wendelbohrer ein räumliches Gebilde entlang des Hofes eines Zylinders.

Im ersten Bild liegt eine archimedische Spirale als schwarze Kurve unten auf dem Boden, während die Schraube als grüne Kurve an der Außenwandung des Zylinders sichtbar ist.

Die Überlagerungskurve von Spirale und Schraube, die im ersten Bild rot eingezeichnet ist, wird als konische Spirale oder kegelförmige Raumspirale bezeichnet.

Bearbeiten Spiraltypen

Bearbeiten Ebene Spiralen

Bild:SCHRAUB1 Schraube und hyperbolische Spirale.PNG

Man kann diese Spiralen mathematisch am besten als Koordinatengleichungen im ebenen Polarkoordinatensystem beschreiben, wobei r als Funktion von Φ dargestellt wird; Φ läuft im Allgemeinen bis unendlich anstatt nur bis 2π. Im Folgenden sind jeweils eine Formel für r(Φ) und die Länge s der Spirale von Φ = 0 weg angegeben.

Die archimedische Spirale entsteht z. B. beim Aufwickeln eines gleichmäßig dicken Teppichs.

$r(\phi) = a \cdot \phi$

$s(\phi) = \frac{a}{2} \cdot \left(\ln\left(\sqrt{\phi^2+1}+\phi\right) + \phi \cdot \sqrt{\phi^2+1}\right)$

Die beim Aufwickeln benötigte Materiallänge (speziell beim Schmieden dekorativer Spiralen) lässt sich mit Hilfe von Clacksons Spiralenformel abschätzen.

Die logarithmische Spirale entsteht z. B. beim Wachstum von Schneckenhäusern.

$r(\phi) = b \cdot e^{a \cdot \phi}$

Länge vom Koordinatenursprung ( $\phi = -\infty$ ) weg:

$s(\phi) = \frac{b \cdot e^{a \cdot \phi} \cdot \sqrt{a^2+1}}{a}$

Die hyperbolische Spirale, schwarze Kurve oben im zweiten Bild, sieht man z. B. beim senkrechten Blick durch eine Wendeltreppe (siehe auch die Zentralprojektion).

$r(\phi) = \frac {a}{\phi}$

In dieser Gleichung läuft die Spirale mit wachsendem Φ von außen (unendlich ferner Punkt bei Φ=0) nach innen; die Entfernung auf der Spirale von einem beliebigen Punkt der Spirale bis zum Koordinatenursprung ist jedoch auch unendlich, deshalb ist hier die Entfernung zwischen zwei Punkten mit den Winkeln Φ und Θ angegeben.

$s(\phi,\theta) = a \cdot \left(\frac{\sqrt{\phi^2+1}}{\phi} - \frac{\sqrt{\theta^2+1}}{\theta} - \ln\left(\left(\sqrt{\phi^2+1}+\phi\right) \cdot \left(\sqrt{\theta^2+1}-\theta\right)\right)\right)$

Es existieren noch einige weitere mathematische Funktionen, die ebene Spiralen erzeugen.

Archimedische Spirale

Logarithmische Spirale

Fermatsche Spirale

Hyperbolische Spirale

Bearbeiten Dreidimensionale Spiralen

Konische Spirale entlang eines Kreises. Eine Überlagerung von Schraube und Spirale, entlang des Mantels eines Kegels, dessen Mittellinie zu einem Kreis gekrümmt ist. Frei nach M. C. Escher, siehe in den unten stehenden Links.

Der dieser Zeichnung zugrunde liegende Kegelmantel erinnert an das Ouroboros-Motiv, und kann als ein Torus mit stetig zunehmenden Ringdurchmesser aufgefasst werden:

Archimedische Kugelspirale

Loxodrome

Die Archimedische Kugelspirale (linkes Bild):

Bei einer archimedischen Spirale vergrößert sich der Abstand zum Mittelpunkt linear zum anwachsenden Winkel ihres Umlaufes. Auf einer Kugeloberfläche wird dieser Abstand als der Winkelabstand von einem ihrer Pole gemessen. Daher ist die Archimedische Kugelspirale eine Linie von endlicher Länge, und nicht mit der Loxodrome (rechtes Bild) identisch.

Bearbeiten Demoskopie

Hier wurde die Metapher „Schweigespirale“ von Elisabeth Noelle-Neumann benutzt, um ein bestimmtes gegenseitiges sich Aufschaukeln von sozialen Reaktionen zu erklären und zugleich zu bekämpfen: In der öffentlichen Meinung würden gewisse Minderheitenstandpunkte so nachdrücklich vertreten, dass die Mehrheit zögere, sich überhaupt zu äußern, darauf würde die Minderheit immer diktatorischer und die Mehrheit immer stummer usw. Empirisch ist dieser Zusammenhang sehr schwer zu überprüfen.

Allgemein wird bei jedem Mechanismus, der eine Eskalation des Zustandes bewirkt, von einer Spirale gesprochen, etwa Spirale der Gewalt. In der Systemwissenschaft zeigen harmonische Oszillatoren, die exponentiell anwachsen(eskalieren), logarithmische Spiralen in ihren Phasendiagrammen. Daher ist dieser Begriff mathematisch korrekter als das als Synonym gebrauchte "Teufelskreis", das nicht auf eine Eskalation der Zustände eingeht.

Bearbeiten Spiralen in der Natur

Gehäuse einer Schnecke

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen

Viele Pflanzen und manche Tiere weisen in ihrem Bauplan spiralige Strukturen auf. Die Anordnung dieser Bio-Spiralen wiederum erfolgt in den allermeisten Fällen als Fibonacci-Folge.

Bearbeiten Weblinks

Commons: Spiralen und Schrauben – Bilder, Videos und Audiodateien

http://www.mathematische-basteleien.de/spirale.htm
http://www.mcescher.com/ - Gallery - Recognition and Success - Spher Spirals 1958
Beispiele für Spiralen im Pflanzenreich
La Espiral de Alberto Durero